Was Corona mit Mathematik zu tun hat

Professor Andreas Meister erklärt exponentielles Wachstum: „Schneller Anstieg schwer vorstellbar“

Eine Figur mit Mund-Nasen-Maske vor einer Kurve, die die stark steigenden Infektionszahlen abbildet.
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Exponentielles Wachstum: Zunächst zeigt die Kurve einen flachen Anstieg und wird dann immer steiler.

In der Coronapandemie ist immer wieder die Rede von exponentiellem Wachstum, wenn über die Geschwindigkeit gesprochen wird, mit der sich das Virus ausbreitet. Wir sprachen darüber mit dem Kasseler Mathematikprofessor Andreas Meister.

Wie erklären Sie Ihren Studenten die Exponentialfunktion?
Das ist normalerweise Stoff der Klasse 10 oder 11 am Gymnasium und wird daher an der Universität nur kurz behandelt. Wer Mathematik oder Ingenieurwissenschaften studiert, muss die Exponentialfunktion begriffen haben, denn sie hat große Relevanz für die Anwendung. Exponentielle Wachstumsprozesse sind allgegenwärtig, nicht nur in der Wissenschaft, sondern in der Natur und in unserem Alltag. Und eben jetzt mit der Corona-Pandemie.
Dann erklären Sie uns als Laien exponentielles Wachstum bitte.
Bei exponentiellem Wachstum vervielfacht sich eine Größe in jeweils gleichen Zeitschritten um einen festen Faktor. Die Wachstumsrate ist also proportional zum jeweils aktuellen Bestandswert. Das, was diese Veränderung im Verlauf beschreibt, ist die Exponentialfunktion. In einem Achsenkreuz anschaulich gemacht, sieht man bei einem geringen Startwert zunächst einen sehr flachen Anstieg, der aber mit zunehmender Zeit immer steiler wird.
Haben Sie ein lebensnahes Beispiel?
Den Zinseszins. Denken wir an ein Sparkonto und stellen wir uns vor, wir bekämen Zinsen auf das Geld. Der anfängliche Geldbetrag wird verzinst, und im Weiteren werden die Zinsen dann jeweils mitverzinst. Die Veränderung ist jeweils proportional zum aktuellen Kapital. Anderes Beispiel: Wir können uns zehn Kaninchenpaare vorstellen, die jeweils innerhalb von drei Monaten sechs Junge bekommen. Nach drei Monaten hätten wir dann mit 80 Kaninchen viermal so viele Tiere. Wenn sich sowohl die Alttiere als auch der Nachwuchs stets weitervermehren, beträgt der Faktor in jedem Wachstumsschritt vier. Bereits nach zwei Jahren läge mit über 1,3 Millionen Tieren eine echte Kaninchenplage vor. Dazu muss man allerdings sagen, dass der Prozess in der Natur etwas komplizierter wäre. Wenn es zu viele Tiere gibt, wird beispielsweise die Nahrung knapp, wodurch das Wachstum gebremst wird.
Kommen wir auf Corona zurück. Zuletzt war die Rede von einem exponentiellen Wachstum in Deutschland. Können wir das beispielhaft durchrechnen?
Ich bin kein Virologe, sondern Mathematiker. Ob und wie stark die Coronazahlen steigen, hängt von einer Vielzahl von Faktoren ab, nicht zuletzt vom Verhalten der Menschen. Aber wir könnten uns beispielhaft einmal die Frage stellen, wie lange es dauern würde, bis sich ausgehend von einer infizierten Person und bei einer wöchentlichen Verdoppelung der Anzahl der Erkrankten die gesamte Weltbevölkerung angesteckt hätte. Nach zehn Wochen würden wir dann gut 1000 Infizierte vorfinden, was der Bevölkerung eines Dorfs entsprechen würde. Nach insgesamt 18 Wochen würde die Zahl der Infizierten bei gut 260 000 liegen, was mehr als die Einwohnerzahl von Kassel darstellt. Nur 15 Wochen später, also nach insgesamt lediglich 33 Wochen, wäre die gesamte Weltbevölkerung von rund 7,8 Milliarden Menschen am Virus erkrankt. Das ist wohlgemerkt ein Rechenbeispiel, das außer Acht lässt, wie die Menschheit auf das Virus reagiert und versucht, es einzudämmen.
Warum fällt es vielen Menschen so schwer, exponentielles Wachstum realistisch einzuschätzen?
Weil der Anstieg sehr langsam beginnt. Man kann sich das unglaubliche schnelle Wachstum, das eintritt, sobald ein gewisser Schwellenwert überschritten ist, nur schwer vorstellen. Wenn von Wachstum die Rede ist, denken wir eher an einen linearen Anstieg. Wie beispielsweise beim Verdienst eines Stundenlöhners, der linear mit der Stundenanzahl wächst. Oder bei der Strecke, die wir mit einem Auto auf der Autobahn zurücklegen. Wenn wir konstant 100 km/h fahren, wird die zurückgelegte Distanz gleichmäßig immer größer. Die Dynamik exponentiellen Wachstums ist etwas völlig anderes. Beim Auto würde es bedeuten, dass wir umso mehr beschleunigen, je schneller wir fahren.
Haben Sie als Mathematiker mit ihrem Wissen um die Exponentialfunktion mehr Respekt vor Corona?
Ich glaube, dass Menschen, die sich mit dem Thema auskennen, besser einschätzen können, welche Gefahr die exponentielle Ausbreitung des Virus bedeutet. Deshalb verstehe ich Menschen nicht, die immer noch nicht wahrhaben wollen, dass die Pandemie eine Bedrohung ist und sich weigern, den Vorsichtsmaßnahmen zu folgen. Das Ziel ist ja, den Reproduktionswert R unter den Wert von 1 zu drücken. Der R-Wert zeigt, wie viele Menschen ein Infizierter ansteckt. Wenn er unter 1 bleibt, fällt die Kurve. Und dann hat auch dieses Fallen einen exponentiellen Charakter. Nach einer Weile würde sich die Situation also deutlich entspannen. (Von Katja Rudolph)
Prof. Dr. Andreas Meister

Zur Person

Dr. Andreas Meister (54) ist Professor für Angewandte Mathematik an der der Uni Kassel. Er befasst sich mit numerischen Methoden für realitätsbezogene Problemstellungen. Nach seinem Studium in Göttingen, der Promotion in Darmstadt und der Habilitation in Hamburg erhielt er 2003 den Lehrstuhl in Kassel. 2018 wurde er mit dem Hessischen Hochschulpreis für Exzellenz in der Lehre ausgezeichnet. Meister ist verheiratet, hat vier Kinder und lebt in Kassel.

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